Contenido sugerido 

1. Curvas parametrizadas en Rn.

2. Curvas regulares y parametrización por longitud de arco. Teorema de reparametrización por longitud de arco. Corolario: no existen invariantes locales de curvas.

3. Marco móvil y marco de Frenet. Teorema de existencia de marco de Frenet.

4. Curvas planas.
4.1. Curvatura.
4.2. Ecuaciones de Frenet.
4.3. Movimientos rígidos del plano. Teorema (fundamental) de curvas planas.
4.4. Curvatura como la derivada del ángulo de posición. Índice de rotación y el Umlaufsatz (opcional su demostración más general).
4.5. Círculo osculador, evolutas e involutas.
4.6. Otros teoremas sobre curvas planas (opcionales): Teorema de los 4 vértices (y sus generalizaciones), desigualdad isoperimétrica, el teorema de Tait-Kneser (y la foliación no diferenciable por círculos osculadores)

5. Curvas en R3.
5.1. Curvatura, torsión, las ecuaciones de Frenet para una cuerva en el espacio.
5.2. Teorema (fundamental) de curvas en el espacio.
5.3. Planos osculador, normal, rectificador. Representacion local (fórmula de Taylor) de una curva en el espacio.

6. Superficies en R3.
6.1. Definición local y global. Cartas coordenadas.
6.2. Ejemplos. Superficies de nivel de un valor regular. Superficies de revolución. Gráficas.
6.3. El plano tangente a una superficie. Aplicaciones entre superficies. Difeomorfismos.

7. Métrica. Primera forma fundamental (la métrica inducida). Ejemplos.

8. Orientabilidad y la aplicación de Gauss.

9. La segunda forma fundamental.

10. Curvatura normal de una curva y el teorema de Meusnier.

11. El operador de forma. La curvatura gaussiana y la curvatura media. Puntos umbílicos.

12. Cálculo de las curvaturas en coordenadas locales. Ejemplos.

13. La curvatura gaussiana como límite de la razón de áreas de la aplicación de Gauss.

14. Geometría intrínseca de superficies.

14.1. Isometrías. Ejemplos.

14.2. Aplicaciones conformes y existencia de coordenadas isotermas (opcional).

14.3. Símbolos de Christofel.

14.4. Teorema egregio de Gauss y fórmula de Gauss para la curvatura gaussiana.

14.5. La curvatura gaussiana como invariante bajo isometría. Mapas de la Tierra (opcional): proyección de Mercator (es conforme), mapas que preservan área, etc.

14.6. Ecuaciones de Gauss y Codazzi y el teorema fundamental (de Bonnet) para superficies.
14.7. Campos vectoriales a lo largo de una curva. Transporte paralelo. Ejemplos.
14.8. Geodésicas. Existencia y unicidad. Primeros ejemplos.
14.9. Geodésicas de una superficie de revolución. Criterio de Clairaut.
14.10. Curvatura geodésica.

15. Superficies mínimas (opcional): ecuación en coordenadas isotermas. Ejemplos.

16. Parametrización de Enneper-Weierstrass de un asuperficie mínima, vía funciones holomorfas y meromorfas.

17. Superficies regladas (opcional).

18. Teorema de Gauss-Bonnet.

18.1. Enunciado de la versión local.
18.2. Triangulación de una superficie y enunciado de Gauss-Bonnet global.
18.3. Aplicaciones.
18.4. Demostración (opcional).
18.5. Teorema de Cohn-Vossen para superficies no compactas (opcional).

19. Teoremas de Fenchel y Fary-Milnor (opcional).

Sugerencias de Bibliografia

1. Do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces.
2. Kilingenberg, A course in differential geometry.
3. Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry, vol 2.