Las simetrías cuánticas son de interés en matemáticas, física y teoría de la información. Éstas involucran ideas y herramientas de naturaleza analítica, algebraica, combinatoria, geométrica y categórica, que se utilizan en física de materia condensada y teorías cuánticas de campo, con aplicaciones en información y computación cuántica. En esta charla partiremos de la noción intuitiva de espacios 'clásicos,' y mediante la dualidad de Gelfand, los corresponderemos con C*-álgebras conmutativas. Luego, formalizaremos los espacios no conmutativos o cuánticos con C*-álgebras generales. Y dependiendo del sabor deseado —ya sea topológico o de medida—, podemos especializar nuestras álgebras de operadores por tipos C* o de von Neumann.

 

Un subfactor es una inclusión unital de álgebras de von Neumann simples, donde se puede hablar de una noción de índice, que formaliza la idea de dimensión no-entera. En 1983, Vaughan Jones demostró contra toda expectativa que el rango del índice es exactamente la unión de un espectro discreto {4\cos^2(\pi/n)}_{n\geq3} y uno continuo [4,\infty]. Sin embargo, valiéndonos sólamente de la teoría de grupos, únicamente podemos recuperar los valores enteros del índice.

 

Los subfactores cargan consigo simetrías cuánticas que son invisibles a la estructura de grupo. Por tanto, robusteceremos nuestra definición de simetría utilizando categorías tensoriales unitarias (CTU), que poseen una estructura mucho más abundante, general, y no necesariamente entera. Estudiaremos cómo es que una CTU actúa en un espacio cuántico, y si el tiempo nos lo permite, también veremos ejemplos y resultados importantes, y discutiremos algunos problemas activos.

 

Al finalizar la charla, anunciaré mi programa 'Outsourcing Math Research' cuyo objetivo es reclutar, apoyar y dirigir a estudiantes potencialmente interesados en aprender y trabajar en simetrías cuánticas, con miras a ingresar en un posgrado de investigación.