Las simetrías cuánticas son de interés en matemáticas, física y teoría de la información. Éstas involucran ideas y herramientas de naturaleza analítica, algebraica, combinatoria, geométrica y categórica, que se utilizan en física de materia condensada y teorías cuánticas de campo, con aplicaciones en información y computación cuántica. En esta charla partiremos de la noción intuitiva de espacios 'clásicos,' y mediante la dualidad de Gelfand, los corresponderemos con C*-álgebras conmutativas. Luego, formalizaremos los espacios no conmutativos o cuánticos con C*-álgebras generales. Y dependiendo del sabor deseado —ya sea topológico o de medida—, podemos especializar nuestras álgebras de operadores por tipos C* o de von Neumann.

 

Un subfactor es una inclusión unital de álgebras de von Neumann simples, donde se puede hablar de una noción de índice, que formaliza la idea de dimensión no-entera. En 1983, Vaughan Jones demostró contra toda expectativa que el rango del índice es exactamente la unión de un espectro discreto {4\cos^2(\pi/n)}_{n\geq3} y uno continuo [4,\infty]. Sin embargo, valiéndonos sólamente de la teoría de grupos, únicamente podemos recuperar los valores enteros del índice.

 

Los subfactores cargan consigo simetrías cuánticas que son invisibles a la estructura de grupo. Por tanto, robusteceremos nuestra definición de simetría utilizando categorías tensoriales unitarias (CTU), que poseen una estructura mucho más abundante, general, y no necesariamente entera. Estudiaremos cómo es que una CTU actúa en un espacio cuántico, y si el tiempo nos lo permite, también veremos ejemplos y resultados importantes, y discutiremos algunos problemas activos.

 

Al finalizar la charla, anunciaré mi programa 'Outsourcing Math Research' cuyo objetivo es reclutar, apoyar y dirigir a estudiantes potencialmente interesados en aprender y trabajar en simetrías cuánticas, con miras a ingresar en un posgrado de investigación.

Revisaremos parte de la historia del teorema de cuatro colores, algunos resultados relacionados y mencionaremos parte de los avances que se obtuvieron usando asistentes de prueba. El teorema de cuatro colores aparece como una curiosidad entre dos hermanos en 1852 pero con el paso de los años creció y se vio envuelto en supuestos contraejemplos, varios intentos de pruebas, generalizaciones, computadoras, y algunas controversias hasta la prueba más reciente en 2005. Antes de 1900 hubo varios intentos de prueba errores que pasaron desapercibidos durante años. Luego en los 60s y 70s llegaron las computadoras y las controversias porque se necesitaban comprobar cientos de configuraciones irreducibles una por una. Luego en 1996 se reduce a un terció la cantidad de configuraciones necesarias. Durante este tiempo se desarrollaron los asistentes de pruebas y no fue hasta 2005 que se publicó una prueba usando uno de los asistentes de pruebas más conocidos, Coq.

Durante el final de la plática veremos algunas generalizaciones del teorema de 4 colores y resultados relacionados. Si queda tiempo también mencionaré brevemente algunos ejemplos donde los asistentes de prueba han ayudado a resolver problemas de verificación y además mencionaré algunos otros proyectos en otros asistentes de pruebas como Isabel.

 

Al estudiar medidas en un espacio topológico se distinguen aquellas cuyos correspondientes conjuntos medibles se pueden "aproximar" mediante conjuntos abiertos, cerrados o compactos, dando lugar a lo que se conoce como propiedades de regularidad. En esta presentación ilustraremos dichas propiedades con la medida de Lebesgue enℝ con su topología usual y en la línea de Sorgenfrey, que es ℝ con otra topología.